El Teorema de Arrow desmontado

Matemáticamente si es pues posible buscar un equilibrio en los procesos de elección social entre las preferencias individuales y el interés de la colectividad

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¿Es imposible una elección social equilibrada?.

El Teorema de Arrow viene a decir que, dadas varias opciones, es imposible determinar un orden de preferencia social que satisfaga a todos los agentes decisores, dadas unas condiciones de restricción. Veámoslo con el ejemplo del pastel.

Consideremos tres personas A, B y C, que se van a repartir un pastel. Se plantean 4 opciones de distribución entre las que cada persona debe escoger:

  • Opción 1: La mitad para A y la mitad para B. Nada para C.
    Opción 2: La mitad para B y la mitad para C. Nada para A.
    Opción 3: La mitad para C y la mitad para A. Nada para B.
    Opción 4: El pastel se reparte en 3 partes iguales para A, B y C.

Si A, B y C ordenan sus preferencias de elección pretendiendo obtener la mayor parte posible de la tarta, la Opción 4, que es la más justa, quedaría matemáticamente relegada al tercer puesto, puesto que cada una de ellas se decantaría por elegir como dos primeras opciones aquellas que le garantizarían la mitad del pastel.

El teorema de Arrow dice que si el cuerpo que toma las decisiones tiene al menos dos integrantes y al menos tres opciones entre las que debe decidir, entonces es imposible diseñar una regla de elección social que satisfaga simultáneamente todas estas condiciones. Formalmente, el conjunto de reglas de decisión que satisfacen los criterios requeridos resulta vacío. (Enunciado simplificado del problema, Fuente: Wikipedia)

Pero matemáticamente si que es posible la implementación de un sistema de votación que establezca un equilibrio entre las preferencias individuales de los individuos y la justicia social aún en el caso de que se tenga que elegir entre tres o más opciones y que se cumpla a la vez con las condiciones enunciadas en el Teorema de Arrow.

En el ejemplo del pastel, a la hora de votar por las preferencias se establece para conseguirlo un mecanismo de corrección, de tal manera que el votante va a dar “2 puntos” a la primera opción de su preferencia, “0 puntos” a la opción que rechace por completo, y “1 punto” al resto de opciones..

TOMANDO COMO REFERENCIA EL SUPUESTO DEL REPARTO DEL PASTEL:

1º.- DISTRIBUCIÓN DEL VOTO PROBABLE:

  • Votante A: Opciones 1 o 3 (1 o 2 puntos) – Opción 4 (1 punto) – Opción 2 (0 puntos)
    Votante B: Opciones 1 o 2 (1 o 2 puntos) – Opción 4 (1 punto) – Opción 3 (0 puntos)
    Votante C: Opciones 3 o 2 (1 o 2 puntos) – Opción 4 (1 punto) – Opción 1 (0 puntos)

2º.- RESULTADOS EN PUNTOS POTENCIALMENTE POSIBLES

  • Opción 1: 4-3-2 puntos posibles
    Opción 2: 4-3-2 puntos posibles
    Opción 3: 4-3-2 puntos posibles
    Opción 4: 3 puntos posibles

3º.- EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN DEL VOTO

  • “A” da “1 punto” a las “Opciones 1 y 4” y “2 puntos” a la “Opción 3”
    “B” da “1 punto” a las “Opciones 2 y 4” y “2 puntos” a la “Opción 1”
    “C” da “1 punto” a las “Opciones 3 y 4” y “2 puntos” a la “Opción 2”

4º.- TOTAL VOTOS-PUNTOS POR OPCIÓN SEGÚN EL EJEMPLO:

  • Opción 1: 3 puntos
    Opción 2: 3 puntos
    Opción 3: 3 puntos
    Opción 4: 3 puntos

Matemáticamente si es pues posible buscar un equilibrio en los procesos de elección social entre las preferencias individuales y el interés de la colectividad.

Con la metodología de votación expuesta la Opción 4, la más justa para la colectividad ante un observador imparcial, no está en desventaja sistémica con las otras tres opciones que favorecen las preferencias individuales, tal como si apuntaría la probabilidad matemática expuesta por el Teorema de Arrow..

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