Lo imposible del Teorema de Arrow es ya posible con la ley 2.0

Matemáticamente es posible la implementación de un sistema de votación que establezca un equilibrio entre preferencias individuales y la justicia social aún en el caso de que se tenga que elegir entre tres o más opciones y que se cumpla a la vez con las condiciones enunciadas en el Teorema de Arrow

arrowteorema

¿Es imposible una elección social equilibrada?.

El Teorema de Arrow viene a decir que, dadas varias opciones, es imposible determinar un orden de preferencia social que satisfaga a todos los agentes decisores, dadas unas condiciones de restricción. Veámoslo con el ejemplo del pastel.

Consideremos tres personas A, B y C, que se van a repartir un pastel. Se plantean 4 opciones de distribución entre las que cada persona debe escoger:

  • Opción 1: La mitad para A y la mitad para B. Nada para C.
  • Opción 2: La mitad para B y la mitad para C. Nada para A.
  • Opción 3: La mitad para C y la mitad para A. Nada para B.
  • Opción 4: El pastel se reparte en 3 partes iguales para A, B y C.

Si A, B y C ordenan sus preferencias de elección pretendiendo obtener la mayor parte posible de la tarta, la Opción 4, que es la más justa, quedaría matemáticamente relegada al tercer puesto, puesto que cada una de ellas se decantaría por elegir como dos primeras opciones aquellas que le garantizarían la mitad del pastel.

El teorema de Arrow dice que si el cuerpo que toma las decisiones tiene al menos dos integrantes y al menos tres opciones entre las que debe decidir, entonces es imposible diseñar una regla de elección social que satisfaga simultáneamente todas estas condiciones. Formalmente, el conjunto de reglas de decisión que satisfacen los criterios requeridos resulta vacío.” (Enunciado simplificado del problema, Fuente: Wikipedia)

Pero matemáticamente si que es posible la implementación de un sistema de votación que establezca un equilibrio entre las preferencias individuales de los individuos y la justicia social aún en el caso de que se tenga que elegir entre tres o más opciones y que se cumpla a la vez con las condiciones enunciadas en el Teorema de Arrow.

En el ejemplo del pastel, a la hora de votar por las preferencias se establece para conseguirlo un mecanismo de corrección, de tal manera que el votante va a dar “2 puntos” a la primera opción de su preferencia, “0 puntos” a la opción que rechace por completo, y “1 punto” al resto de opciones..

Tomando como referencia el supuesto del reparto del pastel:

– Distribución del voto probable:

  • Votante A: Opciones 1 o 3 (1 o 2 puntos) – Opción 4 (1 punto) – Opción 2 (0 puntos)
  • Votante B: Opciones 1 o 2 (1 o 2 puntos) – Opción 4 (1 punto) – Opción 3 (0 puntos)
  • Votante C: Opciones 3 o 2 (1 o 2 puntos) – Opción 4 (1 punto) – Opción 1 (0 puntos)

– Resultados en puntos potencialmente posibles:

  • Opción 1: 4-3-2 puntos posibles
  • Opción 2: 4-3-2 puntos posibles
  • Opción 3: 4-3-2 puntos posibles
  • Opción 4: 3 puntos posibles

– Ejemplo de distribución del voto:

  •  “A” da “1 punto” a las “Opciones 1 y 4” y “2 puntos” a la “Opción 3”
  •  “B” da “1 punto” a las “Opciones 2 y 4” y “2 puntos” a la “Opción 1”
  •  “C” da “1 punto” a las “Opciones 3 y 4” y “2 puntos” a la “Opción 2”

– Total votos-putos por opción según el ejemplo:

  • Opción 1: 3 puntos
  • Opción 2: 3 puntos
  • Opción 3: 3 puntos
  • Opción 4: 3 puntos

Matemáticamente si es pues posible buscar un equilibrio en los procesos de elección social entre las preferencias individuales y el interés de la colectividad.

Con la metodología de votación expuesta la Opción 4, la más justa para la colectividad ante un observador imparcial, no está en desventaja sistémica con las otras tres opciones que favorecen las preferencias individuales, tal como si apuntaría la probabilidad matemática expuesta por el Teorema de Arrow..

La ley 2.0 transforma en posibilidad la Imposibilidad de Arrow

Supongamos ahora un proceso de votación con tres opciones, a, b y c.

Y consideremos que hay 100 votantes:

  • 38 votarían en la secuencia a>b>c
  • 32 votarían en la secuencia c>b>a
  • 27 votarían en la secuencia b>c>a
  • 3 votarían en la secuencia b>a>c

En principio se entiende que la distribución del voto habría sido la siguiente:

  • 1º – a, con 38 votos
  • 2º – b, con 30 votos
  • 3º – c, con 32 votos

Resultando que a>c>b.

Pero al hacer la comparación por pares nos da el resultado siguiente:

  • 38 votos han preferido a>b contra 62 votos que han preferido b>a
  • 41 votos han preferido a>c contra 59 votos que han preferido c>a
  • 68 votos han preferido b>c contra 32 votos que han preferido c>b

De lo cual nos resulta que el resultado de la votación habría sido:

  • 3º – a, con 79 votos
  • 1º – b, con 130 votos
  • 2º – c, con 91 votos

Resultando que la secuencia ganadora habría sido entonces: b>c>a, en lugar de si se hubieran considerado los votos individualmente, cuya secuencia recordamos que fue: a>c>b.

Hasta aquí se cumpliría la denominada Imposibilidad de Arrow, o sea, que la elección de tres o más posibilidades no puede obtener un resultado que se ajuste a una verdadera voluntad mayoritaria de la masa de votantes..

Pero aplicamos ahora a este mismo supuesto la “ley 2.0”, o sea, dar “2 puntos” a la opción de nuestra elección, y “0 puntos” a la opción que nos parece más desfavorable. Al resto de opciones se le asigna automáticamente “1 punto” por defecto, de tal manera que:

  • 38 votan en la secuencia a>b>c – 2×38>38>0
  • 32 votan en la secuencia c>b>a – 2×32>32>0
  • 27 votan en la secuencia b>c>a – 2×27>27>0
  • 3 votan en la secuencia b>a>c – 2×3>3>0

Resultando que:

  • a = 76+0+0+3 = 79 puntos
  • b = 38+32+54+6 = 130 puntos
  • c = 0+64+27+0 = 91 puntos

La secuencia ganadora aplicando entonces la ley 2.0 sería b>c>a..la misma secuencia que la de los pares, e inversa que la del voto individual el cual como hemos visto no se ajusta a parámetros democráticos en los procesos de elección social.

La ley 2.0 anula entonces la premisa de la Imposibilidad de Arrow.

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